Weak and strong convergence methods for Partial

Differential Equations (PDEs). How can we pass to the limit in a product of weakly convergent sequences? This problem arises naturally when proving ex...

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Formation de spécialité en mathématiques et informatique Année universitaire 2015-2016    

Weak and strong convergence methods for Partial Differential Equations       Intervenant(e) : Christophe Prange  Invitant(e) : ‐    Date, horaires et salle :  

le 01/02/2016 de 16h‐18h, salle 385, IMB  le 03/02/2016 de 16h‐18h, salle 385, IMB  le 08/02/2016 de 16h‐18h, salle 385, IMB  le 10/02/2016 de 16h‐18h, salle 385, IMB  le 15/02/2016 de 16h‐18h, salle 385, IMB  le 17/02/2016 de 16h‐18h, salle 385, IMB    Durée du cours : 12 heures 

  Langue: Anglais 

  Public : Etudiants en Master 2 ou en doctorat 

  Matériel nécessaire :  

Aucun    Compétences requises pour participer au cours :  

Niveau de M1 en analyse fonctionnelle    Compétences acquises à la fin du cours :  

weak  convergence,  compensated  compactness,  div‐curl  lemma,  homogenization,  H‐convergence,  multiscale asymptotic expansions, correctors, error estimaters, boundary layers    Résumé:    

This  course  is  devoted  to  a  fundamental  problem  in  the  theory  of  linear  and  nonlinear  Partial  Differential  Equations  (PDEs).  How  can  we  pass  to  the  limit  in  a  product  of  weakly  convergent  sequences? This problem arises naturally when proving existence of weak solutions to nonlinear PDEs,  or  when  studying  asymptotic  problems  in  linear  PDEs  (homogenization  theory  of  composite  materials).  Unlike  strong  convergence,  weak  convergence  is  in  general  incompatible  with  products. 

            

The limit of the product may be the product of the limits, but it also may not. What can then be said  about the limit? Are there some new interesting effects arising from the interaction of two terms in  the product?  The  goal  of  the  course  is  to  develop  the  following  aspects:  (i)  div‐curl  lemma,  compensated  compactness,  defect  measures  to  use  the  structure  of  the  equation,  (ii)  construction  of  multiscale  expansions,  interior  and  boundary  layer  correctors  to  get  refined  information  about  the  limit  and  precise error estimates, (iii) compactness methods to study regularity theory in homogenization.  The  course  will  be  based  mainly  on  examples  coming  from  homogenization  theory  and  fluid  mechanics. Two possible references are:  1. Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential Equations, by Evans.  2. An Introduction to Homogenization, by Cioranescu and Donato.  The  course  is  open  to  any  Master  or  Ph.D.  student  with  a  background  in  Analysis.  A  previous  experience  of  PDEs  is  good  but  not  necessary.